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数学(学校選択問題)大問3

受験生のみなさん、お疲れさまでした。(^-^)/
雨の中、大変だったと思います。
いつもどおりの実力を発揮できたでしょうか。

ぼくも、入試問題にひととおり目を通してみました。
今年度から数学と英語に学校選択問題ができたので、そちらを中心に見ております。

数学の感想からいいますと、難易度は例年の学力検査問題とさほど変わりはなかったものの、証明や説明を求める問題が多く、時間的に余裕がなかったのではないかと思います。

今日は、数学の学校選択問題から、大問3を解説してみます。
ほかの問題は、解答をご覧ください。

平成29年度埼玉県公立高等学校入学者選抜

大問3
下の図のように、1辺が6cmの立方体ABCD-EFGHがあります。
この立方体の対角線AG上に、∠AIF=90°となる点Iをとります。
このとき、次の各問いに答えなさい。
H29数学 大問3
(1)△AGFと△AFIが相似であることを証明しなさい。

【解答】
△AGFと△AFIにおいて
仮定より
∠AFG=90°∠AFI=90°
よって、∠AFG=∠AFI・・・・・・①
∠FAG=∠IAF(共通)・・・・・・②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△AGF∽△AFI

これぐらいの証明は、学校選択問題で受験する受験生にとってはやさしかったでしょう。

(2)線分FIの長さを求めなさい。
【解説】
H29数学 大問3(2)
この問題は、(1)で相似を証明したので、上の図のように相似となる三角形を書き出してみるとわかりやすいと思います。
△AGFにおいては三平方の定理から、AF=6√2、GF=6より、AG=6√3となりますね。
△AFIにおいてはFI=x、AF=6√2ですので、
6√3:6√2=6:xより、x=2√6となります。
【解答】2√6cm

(3)4つの点A,F,I,Cを頂点とする立体の体積を求めなさい。
【解説】
H29数学 大問3
もう一度、この図を見てもらうと、立体AFICは三角すいであることがわかります。
多くの受験生は、底面積と高さを出して、この体積を求めようとしたのではないでしょうか。
しかし、それでは体積は求められません。
三角すいAFICが立方体ABCD-EFGHに占める割合から計算します。
まず、三角すいAFICが含まれる三角柱ABC-EFGは立方体ABCD-EFGHの1/2ですね。
そこから、三角すいF-ABCを取ると、さらに2/3になります。
そして、AGは四角形AEGCの対角線なので、また1/2。
また、三平方の定理により、AG=6√3、AI=4√3が求められるので、
AG:AI=3:2から、さらに2/3であることがわかります。
よって、6×6×6×1/2×2/3×1/2×2/3=24
【解答】24㎤



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urazemi

Author:urazemi
現在、埼玉県で塾講師をしております。2017年6月に個別指導塾を新規開校しました。埼玉県の公立高校入試対策には独自のノウハウがありますので、少しずつですができるだけ公開していきたいと思います。

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